# Algebraische Geometrie [Lecture notes] by Scheithauer

By Scheithauer

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Multipliziert man diese Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner der ai ∈ F , so erh¨alt man eine Gleichung f = bN y N + ... + b0 = 0 mit bi ∈ D. f ist ein primitives Polynom in D[y]. Somit ist f genau dann irreduzibel u ¨ber D[y], wenn f irreduzibel u ¨ber F [y] ist. Letzteres ist der Fall, weil f = bN g mit bn ∈ F und g ∈ F [Y ] irreduzibel ist. Die Gleichung f (y) = 0 beschreibt eine irreduzible affine Variet¨at in Am+1 orper von K . , ym , y] mit yi = yi + I(W ) und y = y + I(W ).

Sei C eine projektive glatte Kurve und D ein Hauptdivisor auf C. Dann grad D = 0. Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten. Seien C, C glatte projektive Kurven und f : C → C ein surjektiver Morphismus. Dann ist f ∗ : K(C ) → K(C) g →g◦f 51 injektiv. Wir k¨onnen also K(C ) als Unterk¨orper von K(C) auffassen. Es ergibt sich der Turm K ⊂ K(C ) ⊂ K(C). Es ist trgradK K(C) = trgradK K(C ) + trgradK(C ) K(C), =1 =1 also trgradK(C ) K(C) = 0 und somit ist K(C)/K/C ) algebraisch. Aus der Erweiterung des Noetherschen Normalisierungssatzes folgt, dass K(C) durch zwei Elemente erzeugt wird, also ist die Erweiterung K(C)/K(C ) endlich.

Dann ist νP (f ) = P ∈C Res df f = 1 2πi 53 γ df 1 =− f 2πi −γ df = 0. f Sei C eine glatte projektive Kurve. Da die Hauptdivisoren Grad 0 haben, erhalten wir eine Abbildung Cl(C) → Z Die Jacobische von C ist definiert als Jac0 (C) = Cl0 (C) = {D ∈ Cl(C)| grad(D) = 0}. Wir haben eine kurze Sequenz 0 → Cl0 (C) → Cl(C) → Z → 0. 13. Sei C eine glatte projektive Kurve. h. ist birational, also isomorph ) zuP1K . Beweis. ⇐“ Sei C ∼ = P1K . Dann ist ” Cl0 (C) ∼ = Cl0 (P1K ) = {0}. h. P − C = (f ) f¨ ur geeignetes f ∈ K(C).