Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by J. Sander et al.

By J. Sander et al.

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D−1 } heißt det(Θj (αj−1 )) 1≤i≤d Vandermonde-Determinante. 34 Die Vandermondsche-Determinante hat den Wert det(Θj (αj−1 )) 1≤i≤d = 1≤j≤d (αi − αj ) , 1≤i

Ist prim. 47(ii) folgt die Eindeutigkeit der Zerlegung, wobei wie oben Induktion u ¨ber f (α) benutzt wird. ✷ Als Anwendungsbeispiel f¨ ur Faktorisierung in Zahlk¨orpern betrachten wir eine sogenannte Bachet-Gleichung y 2 = x3 + k mit festem k ∈ Z. h. L¨osungen u ¨ber Z) y 2 = x3 − 2 hat nur die beiden L¨osungen x = 3, y = ±5. 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 49 Beweis: Zun¨achst ist x ungerade, denn f¨ ur gerades x h¨atten wir y 2 ≡ −2 mod 4 Widerspruch. 51 ein ZPE√ Ring ist. Die gegebene Bachet-Gleichung liefert in Z[ −2] die Faktorisierung (y + Behauptung: ggT(y + Sei dazu f¨ ur a, b ∈ Z √ √ −2) · (y − −2, y − √ −2) = x3 .

Wegen p n hat n · xn−1 nur irreduzible Faktoren x, die jedoch nicht xn − 1 teilen. Dieser Widerspruch beweist unsere Zwischenbehauptung. h. j = ist. Jede solche Einheitswurzel ist von der Form ζnj f¨ p1 · p2 · . . · pr f¨ ur gewisse pi ∈ P, pi n. Trivialerweise gilt mζn ,Q (ζn ) = 0. ·pr ) = 0 . ¨ 2 ARITHMETIK IN ZAHLKORPERN 62 Damit folgt Φn (x) | mζn ,Q (x). Da schon gezeigt wurde, dass Φn (x) ∈ Z[x], und ofuhrenden Koeffizienten 1 besitzt, bleibt wegen der Irreduzibilit¨at von fenbar Φn (x) f¨ mζn ,Q (x) nur Φn (x) = mζn ,Q (x).

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