An introduction to the theory of multiply periodic functions by Henry Frederick Baker

By Henry Frederick Baker

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Auf ArMath. 1 Diese Autoren st¨ beiten von Hilbert und Schmidt, u ¨ber die in Kapitel V und VI zu sprechen sein wird, und F. Riesz. W¨ ahrend Hilbert und Schmidt sich den R¨aumen 2 und L2 widmen, ist es Riesz, der 1910 (Math. Ann. 69 (1910) 449– ur 497) die Funktionenr¨ aume Lp [a, b] und wenig sp¨ater die Folgenr¨aume p f¨ p = 2 studiert. 7, deren endlichdimensionale Varianten auf H¨ older und Minkowski zur¨ uckgehen, und insbesondere die 1 Die Arbeiten der bedeutenden Mathematiker aus der ersten H¨ alfte dieses Jahrhunderts sind manchmal im Original schwer erh¨ altlich; sie sind jedoch h¨ aufig in Gesammelten Werken dieser Autoren erneut publiziert worden.

6 behandelt worden. Wir betrachten nun p = 1, q = ∞; der Fall p = ∞, q = 1 ist nat¨ urlich dazu symmetrisch. f und g k¨onnen als meßbare Funktionen angesehen werden, so daß f g jedenfalls meßbar ist. Es folgt f¨ ur alle Nullmengen N |f g| dμ = |f | |g| dμ Ω Ω\N |f | dμ sup |g(t)| ≤ t∈N / Ω\N = Ω |f | dμ g |Ω\N ∞. Nach Definition der L∞ -Norm heißt das aber fg L1 ≤ f L1 g L∞ . ✷ Beispiel. (j) R¨ aume von Maßen. Ist T eine Menge und Σ eine σ-Algebra auf T , so heißt eine Abbildung μ: Σ → R (bzw. C) signiertes bzw.

Zum Nachweis der Separabilit¨ at der R¨ aume C[a, b] und Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞, ben¨ otigen wir einen wichtigen Satz der Analysis. 10 (Weierstraßscher Approximationssatz) Der Unterraum P [a, b] der Polynomfunktionen auf [a, b], a, b ∈ R, liegt dicht in (C[a, b], . ∞ ). Beweis. E. sei a = 0, b = 1; ferner reicht es, sich mit reellwertigen Funktionen zu besch¨ aftigen. 30 I. Normierte R¨ aume Sei x ∈ C[0, 1] beliebig. Wir betrachten das n-te Bernsteinpolynom n n i s (1 − s)n−i x(i/n). i pn (s) := Bn (s; x) := i=0 Wir werden pn − x ∞ → 0 zeigen.

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