Analysis 2 by Skoruppa N.-P.

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Jr (a) hj1 . . hjr . Dr f (a)(h, . . ,jr =1 Die Summation ist hier u ¨ber die Menge I := {(j1 , . . , jr ) : 1 ≤ j1 , . . , jr ≤ n} zu nehmen (die jp sind nat¨ urlich als ganze Zahlen zu w¨ahlen). Wir betrachten nun die Abbildung α : M → N := {(i1 , . . , in ) : i1 , . . , in ≥ 0, i1 + · · · + in = r}, die jedem j := (j1 , . . , jr ) das n-Tupel (i1 , . . , in ) zuordnet, wo ip die Anzahl des Auftretens der Zahl p in j bezeichnet. Offenbar ist α surjektiv. 3 Taylorentwicklung 57 ist nun, daß ein Term in der letzten Summe nur vom Bild unter α abh¨angt, denn f¨ ur (i1 , .

Beweis. Zum Beweis betrachten wir eine Uberdeckung f (X) ⊆ Ui i∈I von X mit offenen Mengen Ui . Es ist zu zeigen, daß schon endlich viele der Uj den Raum X u ¨berdecken. Es ist jedenfalls f −1 (Ui ), X= i∈I und wegen der Stetigkeit von f ist jedes Urbild f −1 (Ui ) offen. Wegen der Kompaktheit von X gibt es daher eine endliche Teilmenge J ⊆ I, so daß gilt f −1 (Uj ). X= j∈J Damit ist dann f (X) ⊆ f (f −1 (Uj )). j∈J 28 Stetigkeit Wegen f (f −1 (Uj )) ⊆ Uj folgt endlich f (X) ⊆ Uj . j∈J Als unmittelbare Folgerung erhalten wir den folgenden wichtigen Existenzsatz: Existenz von Maxima und Minima Satz.

Wie schon oben erw¨ ahnt, gibt es a priori 2r partielle Ableitungen r-ter Ordnung, und iterierte Richtungsableitungen h¨angen a priori von der Reihenfolge ab, in der sie genommen werden. Im Fall der stetigen Differenzierbarkeit ist dies allerdings (und gl¨ ucklicherweise) nicht wahr. 2 Die Haupts¨ atze 51 einen Spezialfall dieses wichtigen Ph¨anomens. Allerdings ist dieser Spezialfall und sein Beweis schon der Prototyp des allgemeinen Sachverhalts, der dann mit abstract nonsense1 aus dem Spezialfall folgen wird.

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